EUCLID DAN PENEMUANNYA

Euclid

A.    Profil Euclid

      Tidak banyak orang yang beruntung memperoleh kemasyhuran yang abadi seperti Euclid. Sayangnya, selain kemasyhurannya, hampir tidak ada keterangan terperinci tentang kehidupan Euclid yang bisa dikeatahui. Ada keterangan yang menyebutkan bahwa ia adalah seorang guru besar di Universitas Alexandria dan ternyata merupakan pendiri sekolah matematika Alexandria yang terkenal. Akan tetapi tanggal dan tempat kelahirannya tidak diketahui. Selama hidup di kota Alexandria inilah Euclid menemukan dan menulis teorinya tentang geometri.

      Akan tetapi hidup di Alexandria pada masa tuanya tidak membuat ia gembira. Hal ini dikarenakan banyak matematika aplikasi yang digunakan seperti pompa air, air terjun, bahkan motor uap. Baginya matematika bukanlah untuk aplikasi, akan tetapi untuk dipelajari dan dibuktikan. Pekerjaan dan kemampuan menggabungkan semua idenya dalam format yang besar inilah yang akhirnya membuat Euclid menyandang gelar sebagai Bapak Geometri.

      Subjek yang dibahas oleh Euclid mencakup bentuk-bentuk, teorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen, geometri ruang, teori proposisi, bilangan prima, bilangan sempurna, integer positif, bilangan irrasional, dan gambar tri-marta. Euclid memberikan warisan yang sangat besar untuk pengembangan matematika dewasa ini.

      Kompilasi hasil-hasil karya matematikawan sebelumnya lewat bukunya The Elements menunjukkan "benang merah" bahwa pengembangan matematika tidak lepas dari peran pemikir Yunani. Kritik terhadap Euclid justru memicu munculnya non-Euclidian yang melengkapi bahasan Bentuk parabola, hiperbola, dan elips sehingga mulai mendapatkan perhatian dari para matematikawan.

      Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah pernah ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku. Di sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya, misalnya tentang kemungkinan menarik garis lurus diantara dua titik. Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati dia mengatur dalil sehingga mudah difahami oleh orang-orang sesudahnya. Bila perlu, ia menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan mengembangkan percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan.

      Kendati Euclid sudak tidak ada, namun namanya masih tercatat sebagai ilmuwan dunia dan termasuk Seratus Tokoh yang Paling Berpengaruh dalam Sejarah urutan ke-22 (Michael H. Hart, 1978; Terjemahan H. Mahbub Djunaidi, 1982).

B.     The Elements

Dalam menciptakan the Elements, Euclid bekerja lebih jauh dari pada sekedar menyajikan suatu ensiklopedia matematika. Ia menciptakan sistem berpikirnya yang pertama berdasarkan definisi-definisi formal, aksioma-aksioma, proporsisi-proporsisi, dan aturan-aturan inferensi atau logika. Untuk melakukan hal ini, Euclid menetapkan suatu standard untuk  mendemonstrasikan matematika yang bertahan sampai saat ini. Standard itu adalah bukti.

Geometri yang Euclid kembangkan itu berdasarkan pada istilah-istilah yang terdefinisi dan asumsi-asumsi yang dinamakan postulat atau aksioma. Dengan menggunakan definisi dan aksioma sebagai blok-blok penyangga, Euclid mendemonstrasikan kebenaran dan beratus-ratus pernataan lainnya yang dinamakannya proposisi.

Buku The Elements sudah merupakan buku pegangan baku lebih dari 2000 tahun dan tak bisa dipungkiri lagi merupakan buku yang paling sukses yang pernah disusun manusia. Begitu hebatnya Euclid menyusun bukunya sehingga dari bentuknya saja sudah mampu menyisihkan semua buku yang pernah dibuat orang sebelumnya dan yang tak pernah digubris lagi. Aslinya ditulis dalam bahasa Yunani, kemudian buku The Elements itu diterjemahkan ke dalam berbagai bahasa. Terbitan pertama muncul tahun 1482, sekitar 30 tahun sebelum penemuan mesin cetak oleh Gutenberg. Sejak penemuan mesin itu dicetak dan diterbitkanlah dalam beribu-ribu edisi yang beragam corak.

Sebagai alat pelatih logika pikiran manusia, buku The Elements jauh lebih berpengaruh ketimbang semua risalah Aristoteles tentang logika. Buku itu merupakan contoh yang komplit sekitar struktur deduktif dan sekaligus merupakan buah pikir yang menakjubkan dari semua hasil kreasi otak manusia.

Adalah adil jika kita mengatakan bahwa buku Euclid merupakan faktor penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern. Ilmu pengetahuan bukanlah sekedar kumpulan dari pengamatan-pengamatan yang cermat dan bukan pula sekedar generalisasi yang tajam serta bijak. Hasil besar yang direnggut ilmu pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara kerja penyelidikan empiris dan percobaan-percobaan di satu pihak, dengan analisa hati-hati dan kesimpulan yang punya dasar kuat di lain pihak.

Kita masih bertanya-tanya apa sebab ilmu pengetahuan muncul di Eropa dan bukan di Cina, tetapi rasanya aman jika kita menganggap bahwa hal itu bukanlah semata-mata lantaran soal kebetulan. Memanglah, peranan yang digerakkan oleh orang-orang brilian seperti Newton, Galileo dan Copernicus mempunyai makna yang teramat penting. Tetapi, tentu ada sebab-musababnya mengapa orang-orang ini muncul di Eropa. Mungkin sekali faktor historis yang paling menonjol apa sebab mempengaruhi Eropa dalam segi ilmu pengetahuan adalah rasionalisme Yunani, bersamaan dengan pengetahuan matematika yang diwariskan oleh Yunani kepada Eropa. Patut kiranya dicatat bahwa Cina --meskipun berabad-abad lamanya teknologinya jauh lebih maju ketimbang Eropa-- tak pernah memiliki struktur matematika teoritis seperti halnya yang dipunyai Eropa. Tak ada seorang matematikus Cina pun yang punya hubungan dengan Euclid. Orang-orang Cina menguasai pengetahuan yang bagus tentang ilmu geometri praktis, tetapi pengetahuan geometri mereka tak pernah dirumuskan dalam suatu skema yang mengandung kesimpulan.

Bagi orang-orang Eropa, anggapan bahwa ada beberapa dasar prinsip-prinsip fisika yang dari padanya semuanya berasal, tampaknya hal yang wajar karena mereka punya contoh Euclid yang berada di belakang mereka. Pada umumnya orang Eropa tidak beranggapan geometrinya Euclid hanyalah sebuah sistem abstrak, melainkan mereka yakin benar bahwa gagasan Euclid -dan dengan sendirinya teori euclid-- memang benar-benar merupakan kenyataan yang sesungguhnya.

Pengaruh Euclid terhadap Sir Isaac Newton sangat kentara sekali, sejak Newton menulis buku tersohornya The Principia dalam bentuk kegeometrian, mirip dengan The Elements. Berbagai ilmuwan mencoba menyamakan diri dengan Euclid dengan jalan memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka secara logis berasal mula dari asumsi asli. Tak kecuali apa yang diperbuat oleh ahli matematika seperti Russel, Whitehead dan filosof Spinoza.

Kini, para ahli matematika sudah memaklumi bahwa geometri Euclid bukan satu-satunya sistem geometri yang memang jadi pegangan pokok dan teguh serta yang dapat direncanakan pula, mereka pun maklum bahwa selama 150 tahun terakhir banyak orang yang merumuskan geometri bukan ala Euclid. Sebenarnya, sejak teori relativitas Einstein diterima orang, para ilmuwan menyadari bahwa geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam penerapan masalah cakrawala yang sesungguhnya. Pada kedekatan sekitar "Lubang hitam" dan bintang neutron --misalnya-- dimana gaya berat berada dalam derajat tinggi, geometri Euclid tidak memberi gambaran yang teliti tentang dunia, ataupun tidak menunjukkan penjabaran yang tepat mengenai ruang angkasa secara keseluruhan. Tetapi, contoh-contoh ini langka, karena dalam banyak hal pekerjaan Euclid menyediakan kemungkinan perkiraan yang mendekati kenyataan. Kemajuan ilmu pengetahuan manusia belakangan ini tidak mengurangi baik hasil upaya intelektual Euclid maupun dari arti penting kedudukannya dalam sejarah.

The Elements dapat dikatakan karya fenomenal pada jaman itu. Terdiri dari 13 buku yang tersusun berdasarkan tema dan topik. Setiap buku diawali dengan difinisi, aksioma (hanya untuk buku I), preposisi, theorema sebelum ditutup dengan pembuktian dengan menggunakan definisi dan aksioma yang sudah disebutkan. Buku ini ke luar Yunani tahun 1482, diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dan Arab, serta menjadi buku teks geometri dan logika pada awal tahun 1700-an. Garis besar isi masing-masing buku. Sebuah pendekatan sistematik dan aksiomatik dalam membahas persoalan geometri.

The Elements ini terdiri dari 13 buku yaitu:

1.      Buku I :  Fundamentals of Plane Geometry Involving Straight-Lines

2.      Menguraikan proposisi dasar geometri bidang.  Termasuk tiga kasus tentang kekongruenan segitiga, berbagai teorema yang melibatkan garis paralel, teorema mengenai jumlah sudut dalam segitiga, dan teorema Pythagoras.

3.      Buku II : Fundamentals of Geometric Algebra

4.      Menguraikan tentang geometri aljabar.

5.      Buku III : Fundamentals of Plane Geometry Involving Circles

6.      Menyelidiki lingkaran dan sifat-sifatnya, termasuk teorema garis singgung dan sudut tertulis.

7.      Buku IV : Construction of Rectilinear Figures In and Around Circles

8.      Berkaitan dengan poligon teratur dan dibatasi, juga lingkaran.

9.      Buku V : Proportion

10.  Mengembangkan teori aritmetika proposisi.

11.  Buku VI : Similar Figures

12.  Menerapkan teori proposisi geometri bidang dan berisi teorema pada angka yang sama.

13.  Buku VII : Elementary Number Theory

14.  Berisi tentang penawaran dengan teori bilangan dasar.

15.  Buku VIII : Continued Proportion

16.  Berkaitan dengan geometri seri.

17.  Buku IX : Aplications of Number Theory

18.  Mengandung berbagai aplikasi hasil dalam dua buku sebelumnya dan ada juga tentang keterbatasan bilangan prima, serta jumlah dari seri geometri.

19.  Buku X : Incommensurable Magnitudes

20.  Berisi upaya pengklasifikasian angka yang tak dapat dibandingkan (irrasional).

21.  Buku XI : Elementary Stereometry

22.  Mengenai penawaran dengan proposisi dasar geometri tiga-dimensi.

23.  Buku XII : Proportional Stereometry

24.  Mengenai perhitungan relatif volume kerucut, piramida, silinder, dan bola.

25.  Buku XIII : The Platonic Solids

26.  Menginvestigasi padatan Platonis.

Definisi-definisi yang dikemukakan Euclid dalam The Elements :

a.    Sebuah titik adalah sesuatu yang tidak punya bagian

b.    Suatu garis sesuatu yg punya panjang dan tidak punya lebar

c.    Ujung-ujung suatu garis adalah titik-titik

d.   Suatu garis lurus adalah garis-garis yang terletak merata dengan titik-titik terletak padanya.

e.    Suatu sudut tumpul adalah suatu sudut yang lebih besar dari sudut siku-siku.

f.     Selanjutnya bangun-bangun bersisi tiga, suatu segitiga siku-sik adalah suatu segitiga yang mempunyai suatu sudut siku-siku; suatu segitiga yang mempunyai suatu sudut tumpul, dan suatu segitiga yang mempunyai suatu sudut tumpul, dan suatu segitiiga lancip adalah segitiga ang ketiga sudutnya lancip.

g.    Dari bangun-bangun bersisi empat, suatu persegi adalahsesuatu bangun yang sisi-sisinya sama panjang dan sudut-sudutnya siku-siku. Suatu persegi panjang adalah sudut siku-siku yang tidak mempunyai semua sisi yang sama panjang. Suatu belah ketupat adalah bangun bersisi empat yang keempat sisinya sama panjang tetapi sudut-sudutnya tidak siku-siku. Sebua laying-layang adalah bangun berisi empat dengan sudut dan sisi yang saling berhadapan adalah sama., tetapi panjang sisinya tidak sama dan sudutnya juga tidak siku-siku. Bangun bersisi empat yang lain dari yang disebutkan ini disebut trapezium.

h.    Garis lurus – garis lurus yang sejajar adalah garis lurus yang terletak pada bidang yang sama dan diperpanjang sampai tak hingga pada kedua arah, tidak berpotongan pada arah yang manapun.

Beberapa aksioma-aksioma yang terdapat pada buku The Elements :

1.      Benda-benda yang masing-masingnya sama dengan suatu benda lain adalah sama satu dengan lainnya.

2.      Jika hal-hal yang sama ditambahkan dengan hal-hal yang sama, maka keseluruhannya juga sama.

3.      Jika sejumlah yang sama dikurangi dari hal-hal yang sama, maka sisanya juga akan sama.

4.      Hal-hal yang saling menutupi satu dengan lainnya adalah sama satu dengan lainnya.

5.      Keseluruhan adalah lebih besar dari sebagiannya.

Beberapa postulat-postular yang terdapat pada buku The Elements :

1.      Membuat suatu garis lurus dari satu titik ke titik lainnya.

2.      Membuat suatu garis (ruas garis) secara kontinu pada suatu garis lurus.

3.      Menggambarkan sembarang lingkaran dengan sembarang titik pusat dan jari-jari.

4.      Semua sudut sku-siku sama satu dengan lainnya.

5.      Jika suatu garis lurus memotong dua garislurus lainnya dan membuat sudut-sudut dalam sepihak terhadap garis itu kutang dari dua sudut siku-siku, jika diperpanjang tak hingga, akan berpotongan di sisi garis dimana kedua sudut yang jumlahnya kurang dari dua sudut siku-siku itu terletak.

Teorema-teorema pada The Elements adalah kompilasi karya para matematikawan sebelumnya, menampilkan pembuktian-pembuktian kuno mengganti dengan yang baru dan disederhanakan. Element menjadi buku teks baku abadi dalam geometri. Saat mesin cetak ditemukan, buku ini termasuk buku pertama yang dicetak.

            Beberapa proposisi diantara lainnya adalah :

1.      Jika ada suatu segitiga sudut sama, maka sisi di hadapan sudut-sudut itu juga sama.

2.      Dalam setiap segitiga jika salah satu sisi diperpanjang, maka sudut luarnya lebih besar dari setiap sudut dalam yang dihadapannya.

3.      Dalam setiap segitiga, jumlah dari sembarang dua sudut adalah kurang dari dua sudut siku-siku.

4.      Dalam setiap segitiga, sisi dihadapan sudut terbesar adalah sisi terpanjang.

5.      Dalam setiap segitiga jumlah dari setiap dua sisi adalah lebih besar dari sisi ketiga.

Selain axioma, ditemukan juga proposisi-proposisi yaitu pernyataan-pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya dengan menggunakan aturan-aturan inferensi yang diterima.

Mengenai aksioma, serta argumentasi ilmiah, muncul pertanyaan, “persyaratan apa yang harus dimiliki agar suatu pernyataan disebut sebagai suatu axioma, dan berdasarkan aturan apakah proposisi-proposisi disimpulkan dari aksioma-aksioma?”

Hal ini memunculkan konsep sistem aksioma, yang memuat  tiga konsep utama yaitu :

“Consistency: jika tidak ada axioma ataupun proposisi dari system itu yang bertentangan satu dengan yang lain”

“Independency: Suatu axioma dikatakan independent terhadap axioma-axioma lainnya, jika axioma itu tidak dapat diturunkan dari axioma-axioma lainnya”

“Completeness: Suatu system axioma dikatakan lengkap jika dari setiap pernyataan yang disajikan secara tepat dapat dibuktikan atau tidak dapat dibuktikan berdasarkan axioma-axioma dalam system itu. Dengan kata lain, tidak mungkin lagi ditambahkan axioma lain yang independent ke dalam system axioma itu”

C.    Kecacatan pada Postulat Euclid

Semua postulat membawa apa yang disebut dengan pembuktian diri (self-evidence). Postulat kelima dibuktikan oleh Euclid tanpa memberikan cara pembuktian. Upaya pertama untuk membuktikan postulat kesejajaran ini dilakukan oleh Girolamo Saccheri, pendeta Jesuit berkebangsaan Italia, yang mendukung Euclid dengan menerbitkan buku berjudul Euclides ab omni naevo vindicatus (“Euclid bebas dari semua kesalahan”) pada tahun 1733. Buku tersebut tidak dapat menuntaskan kesalahan Euclid. Matematikawan terkemuka Jerman, Gauss, pertama kali menemukan kesalahan postulat kelima tapi malu untuk mempublikasikannya sehingga kehormatan diberikan kepada dua matematikawan lain yang mengungkapkannya dengan cara penemuan Gauss. Janos Bolyai dari Hongaria dan Nicolai Lobachevsky secara terpisah mampu membuktikan cacat postulat kelima Euclid dengan cara berbeda pula.

Penemuan kesalahan ini membuat berkembangnya geometri model baru. Dirintis oleh Beltrami dari Italia, disusul Cayley dari Inggris, Poincare dari Perancis dan Felix Klein dari Jerman. Terakhir, dirombak, diubah dan dilakukan penyesesuai kecil terhadap postulat-postulat Euclid oleh [Bernhard] Riemann dari Jerman sehingga muncul bentuk-bentuk baru: hiperbola, parabola, ellips yang merupakan jawaban bahwa alam semesta bukanlah pengikut aliran Euclid (non-Euclidian).

a.    Tiga problema matematika klasik

Para matematikawan sejak dahulu berkutat dengan tiga problem yang tidak dapat dipecahkan pada saat itu. Memang ketiga problem itu menjadi mudah setelah ada “campur-tangan” pada matematikawan modern yang terus menyempurnakan alat-alat matematika. Adapun ketiga problem ini adalah:

1.      Persamaan pangkat 3

Cth : 4x³ - 3x - a = 0, a adalah angka tertentu. Saat itu Yunani tidak mengenal pangkat tiga (kubik). Dengan penggaris dan kompas mereka hanya mampu menyelesaikan persamaan linier (pangkat 1) dan persamaan kuadrat (pangkat 2).

2.      Menggandakan kuadrat

Cth : 2x³ = y³ atau x³ = 2, Problem yang tidak dapat dipecahkan terjadi karena sebuah legenda. Bangsa Athena, menurut cerita, konsultasi dengan Orakel (tempat dibangun kuil dan dewa bersabda) sebelum melakukan kampanye perang dan dijawab bahwa untuk mempertahankan kejayaan mereka harus menggandakan lebar altar pemujaan terhadap Apolo (Anak Zeus yang dipercayai oleh ayahnya untuk menyingkapkan keputusan-keputusan ayahhandanya untuk umat manusia), yang berbentuk kubus. Mereka segera membuat altar dengan dua kali panjang, dua kali lebar dan dua kali tinggi dibanding altar aslinya.

Percaya bahwa mereka sudah memenuhi keinginan Oracle, mereka dengan penuh percaya diri menuju perang – dan kalah. Ternyata, mereka membuat altar delapan kali besarnya, bukan 2 kali.

3.      Menggambar lingkaran.

Karena tidak ada alat yang tersedia, pada saat itu, tidaklah dimungkinkan menggambar lingkaran bahkan dinyatakan dalam bentuk persamaan aljabar. Problem menyangkut menentukan besaran p (pi), nisbah antara lingkaran dan diameter. Kendala datang dari p yang merupakan bilangan irrasional sekaligus transendental (= bukan bilangan yang dapat diekspresikan dalam aljabar. Sulit ‘memahami alam tanpa kehadiran bilangan ini. Ada 2 bilangan transendental yang terkenal: p dan e).

Ketiga problem klasik ini akan selalu membayangi kiprah para matematikawan. Tidak terkecuali Euclid, tanpa pernah dapat menyelesaikan. Matematikawan berikutnya akan selalu menghadapi dan berupaya memecahkan problem tersebut. Penyelesaian suatu problem berarti nama baik sekaligus prestasi. Tidak jarang terjadi kecurangan, saling “curi” ide, penghianatan. Dan hal ini selalu terjadi di jaman dulu sampai jaman sekarang. Banyak contoh dapat dibaca pada riwayat-riwayat para matematikawan selanjutnya.

b.      Euclid dan bilangan prima

Euclid, seperti matematikawan jaman sekarang, mempelajari bilangan prima, mencari untuk menentukan bilangan mana yang masuk kategori prima atau bukan. Euclid tidak pernah dapat menentukan bilangan prima, tetapi dia mampu memberikan jawaban tentang bilangan prima: bilangan prima itu tidak terhingga. Anak SD sekarang sudah terbiasa dengan bilangan prima. Dari angka 2 sampai dengan 50 terdapat 15 bilangan prima (2, 3, 5, 7, 11, 13, `7, `9, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) ; dari 50 sampai dengan 100 hanya 10 bilangan prima.

Euclid membuat pernyataan: jika bilangan prima terbesar adalah n, maka pasti ada bilangan > n, di mana dapat dicari dengan menggunakan 1 x 2 x 3 dan seterusnya sampai n, kemudian ditambah 1 untuk mendapatkan hasilnya. Simbol matematika untuk mengekspresikan adalah n! + 1 (n faktorial ditambah 1).

D.    Karya Lain dari Euclid

Ptolemy mendirikan universitas yang lebih besar dari akademi Plato dan mengundang Euclid untuk mengajar di sana.  Di tempat baru ini, Euclid merintis pengajaran matematika dan tinggal di sana sampai akhir hayatnya.  Sebagai seorang guru, dia barangkali salah satu mentor Archimedes.

Ada legenda yang menceritakan bahwa anak Ptolemy bertanya kepada Euclid apabila ada cara mudah belajar geometri dengan mempelajari semua preposisi.  “Tidak ada cara mulus mempelajari geometri,” adalah jawaban Euclid sambil menyuruh pangeran kembali membaca buku geometri.  Jawaban ini menjadi kutipan (quotation) terkenal dari Euclid.  Selanjutnya jawaban tersebut memberi dasar bahwa matematika adalah ilmu yang perlu pembuktian.

Selama hidupnya, Euclid telah menulis banyak buku, diantaranya yang terkenal dan masih tersimpan adalah:

1.      The Elements

The Elements berisi pendekatan sistematik dan aksiomatik terhadap geometri. Buku ini terdiri dari 13 buku yang tersusun berdasarkan tema dan topik. Setiap buku diawali dengan difinisi, aksioma (hanya untuk buku I), preposisi, theorema sebelum ditutup dengan pembuktian dengan menggunakan difinisi dan aksioma yang sudah disebutkan.

2.      The Data

The Data berisi sifat dan implikasi dalam masalah geometris. Buku ini memuat 94 proposisi yang menyajikan cara pandang yang radikal dalam penalaran  geometri. Dalam buku ini, Euclid menggunakan kalimat matematika yang berfungsi sebagai acuan darimana kalimat lain secara logis berasal.

3.      On Divisions of Figures

Buku ini terdiri dari 36 proposisi yang berisi pembagian bidang geometris menjadi dua atau lebih bagian yang sama atau dengan rasio tertentu.

4.      Phaenomena

Buku ini membahas tentang geometri bola untuk menjelaskan pergerakan planet di alam semesta. Salah satu pengamatannya dalam buku ini adalah bahwa elips dapat diperoleh dari pemotongan silinder.

5.      Optik

Karya ini menganalisis hubungan antara apa yang dilihat mata dari sebuah objek dan apa objek sebenarnya. Hal ini berawal ketika Euclid mengikuti tradisi Platonis dimana pandangan tersebut disebabkan oleh sinar diskrit yang berasal dari mata. Satu hal yang penting dari karya ini adalah “Things seen under a greater angle appear greater, and those under a lesser angle less, while those under equal angles appear equal.”

Sementara karya-karya dari Euclid yang hilang diantaranya:

1.      Conics

Conics karya Euclid sudah ada lebih dahulu berabad-abad dibandingkan karya Conics yang terkenal dari Apollonius. Menurut Pappus, Euclid pernah memberikan penghargaan kepada Aristeus atas karyanya pada Conics yang lebih lengkap, original, dan spesifik.

2.      Porisms

Buku ini berisi 171 teorema dan 38 lemma. Menurut Pappus, buku ini menitikberatkan kepada proposisi yang merupakan penengah antara teorema dan masalah.

3.      Pseudaria

Pseudaria atau yang dikanal dengan Kitab Fallacies adalah teks dasar tentang kesalahan dalam penalaran. Dalam buku ini Euclid menunjukkan bagaimana menghindari kesalahan dalam penalaran dengan cara  “setting the true beside the false and adapting his refutations of error to the seductions we may encounter.”

4.      Surface Loci

Tidak diketahui maksud dari judul buku ini apakah “Lokus pada permukaan” , atau “Lokus yang merupakan permukaan”.