Euclid
A.
Profil
Euclid
Tidak banyak orang yang
beruntung memperoleh kemasyhuran yang abadi seperti Euclid. Sayangnya, selain
kemasyhurannya, hampir tidak ada keterangan terperinci tentang kehidupan Euclid
yang bisa dikeatahui. Ada keterangan yang menyebutkan bahwa ia adalah seorang
guru besar di Universitas Alexandria dan ternyata merupakan pendiri sekolah
matematika Alexandria yang terkenal. Akan tetapi tanggal dan tempat
kelahirannya tidak diketahui. Selama hidup di kota Alexandria inilah
Euclid menemukan dan menulis teorinya tentang geometri.
Akan tetapi hidup di Alexandria pada masa tuanya
tidak membuat ia gembira. Hal ini dikarenakan banyak matematika aplikasi yang
digunakan seperti pompa air, air terjun, bahkan motor uap. Baginya matematika
bukanlah untuk aplikasi, akan tetapi untuk dipelajari dan dibuktikan. Pekerjaan dan kemampuan menggabungkan semua
idenya dalam format yang besar inilah yang akhirnya membuat Euclid menyandang gelar sebagai Bapak Geometri.
Subjek yang dibahas oleh Euclid mencakup
bentuk-bentuk, teorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen,
geometri ruang, teori proposisi, bilangan prima, bilangan sempurna, integer
positif, bilangan irrasional, dan gambar tri-marta. Euclid memberikan warisan
yang sangat besar untuk pengembangan matematika dewasa ini.
Kompilasi hasil-hasil karya matematikawan
sebelumnya lewat bukunya The Elements
menunjukkan "benang merah" bahwa pengembangan matematika tidak lepas dari peran pemikir Yunani. Kritik
terhadap Euclid justru memicu munculnya non-Euclidian yang melengkapi bahasan Bentuk parabola, hiperbola, dan elips sehingga mulai mendapatkan perhatian dari
para matematikawan.
Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada
pernyataan rumus-rumus pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang
terdapat dalam buku itu sudah pernah ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah
dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan
dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam
perencanaan penyusunan buku. Di sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan
dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya, misalnya tentang kemungkinan
menarik garis lurus diantara dua titik. Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati
dia mengatur dalil sehingga mudah difahami oleh orang-orang sesudahnya. Bila
perlu, ia menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan
dan mengembangkan percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan.
Kendati Euclid sudak tidak ada, namun namanya
masih tercatat sebagai ilmuwan dunia dan termasuk Seratus Tokoh yang
Paling Berpengaruh dalam Sejarah urutan ke-22 (Michael H. Hart, 1978;
Terjemahan H. Mahbub Djunaidi, 1982).
B.
The
Elements
Dalam
menciptakan the Elements, Euclid bekerja lebih jauh dari pada sekedar
menyajikan suatu ensiklopedia matematika. Ia menciptakan sistem berpikirnya
yang pertama berdasarkan definisi-definisi formal, aksioma-aksioma,
proporsisi-proporsisi, dan aturan-aturan inferensi atau logika. Untuk melakukan
hal ini, Euclid menetapkan suatu standard untuk
mendemonstrasikan matematika yang bertahan sampai saat ini. Standard itu
adalah bukti.
Geometri yang
Euclid kembangkan itu berdasarkan pada istilah-istilah yang terdefinisi dan
asumsi-asumsi yang dinamakan postulat atau aksioma. Dengan menggunakan definisi
dan aksioma sebagai blok-blok penyangga, Euclid mendemonstrasikan kebenaran dan
beratus-ratus pernataan lainnya yang dinamakannya proposisi.
Buku The Elements sudah merupakan
buku pegangan baku lebih dari 2000 tahun dan tak bisa dipungkiri lagi merupakan
buku yang paling sukses yang pernah disusun manusia. Begitu hebatnya Euclid
menyusun bukunya sehingga dari bentuknya saja sudah mampu menyisihkan semua
buku yang pernah dibuat orang sebelumnya dan yang tak pernah digubris lagi.
Aslinya ditulis dalam bahasa Yunani, kemudian buku The Elements itu
diterjemahkan ke dalam berbagai bahasa. Terbitan pertama muncul tahun 1482,
sekitar 30 tahun sebelum penemuan mesin cetak oleh Gutenberg. Sejak penemuan mesin
itu dicetak dan diterbitkanlah dalam beribu-ribu edisi yang beragam corak.
Sebagai alat pelatih logika
pikiran manusia, buku The Elements jauh lebih berpengaruh ketimbang semua
risalah Aristoteles tentang logika. Buku itu merupakan contoh yang komplit sekitar
struktur deduktif dan sekaligus merupakan buah pikir yang menakjubkan dari
semua hasil kreasi otak manusia.
Adalah adil jika kita mengatakan
bahwa buku Euclid merupakan faktor penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan
modern. Ilmu pengetahuan bukanlah sekedar kumpulan dari pengamatan-pengamatan
yang cermat dan bukan pula sekedar generalisasi yang tajam serta bijak. Hasil
besar yang direnggut ilmu pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara
kerja penyelidikan empiris dan percobaan-percobaan di satu pihak, dengan
analisa hati-hati dan kesimpulan yang punya dasar kuat di lain pihak.
Kita masih bertanya-tanya apa
sebab ilmu pengetahuan muncul di Eropa dan bukan di Cina, tetapi rasanya aman
jika kita menganggap bahwa hal itu bukanlah semata-mata lantaran soal
kebetulan. Memanglah, peranan yang digerakkan oleh orang-orang brilian seperti
Newton, Galileo dan Copernicus mempunyai makna yang teramat penting. Tetapi,
tentu ada sebab-musababnya mengapa orang-orang ini muncul di Eropa. Mungkin
sekali faktor historis yang paling menonjol apa sebab mempengaruhi Eropa dalam
segi ilmu pengetahuan adalah rasionalisme Yunani, bersamaan dengan pengetahuan
matematika yang diwariskan oleh Yunani kepada Eropa. Patut kiranya dicatat
bahwa Cina --meskipun berabad-abad lamanya teknologinya jauh lebih maju
ketimbang Eropa-- tak pernah memiliki struktur matematika teoritis seperti
halnya yang dipunyai Eropa. Tak ada seorang matematikus Cina pun yang punya
hubungan dengan Euclid. Orang-orang Cina menguasai pengetahuan yang bagus
tentang ilmu geometri praktis, tetapi pengetahuan geometri mereka tak pernah
dirumuskan dalam suatu skema yang mengandung kesimpulan.
Bagi orang-orang Eropa, anggapan
bahwa ada beberapa dasar prinsip-prinsip fisika yang dari padanya semuanya
berasal, tampaknya hal yang wajar karena mereka punya contoh Euclid yang berada
di belakang mereka. Pada umumnya orang Eropa tidak beranggapan geometrinya
Euclid hanyalah sebuah sistem abstrak, melainkan mereka yakin benar bahwa
gagasan Euclid -dan dengan sendirinya teori euclid-- memang benar-benar
merupakan kenyataan yang sesungguhnya.
Pengaruh Euclid terhadap Sir
Isaac Newton sangat kentara sekali, sejak Newton menulis buku tersohornya The
Principia dalam bentuk kegeometrian, mirip dengan The Elements. Berbagai ilmuwan
mencoba menyamakan diri dengan Euclid dengan jalan memperlihatkan bagaimana
semua kesimpulan mereka secara logis berasal mula dari asumsi asli. Tak kecuali
apa yang diperbuat oleh ahli matematika seperti Russel, Whitehead dan filosof
Spinoza.
Kini, para ahli matematika sudah
memaklumi bahwa geometri Euclid bukan satu-satunya sistem geometri yang memang
jadi pegangan pokok dan teguh serta yang dapat direncanakan pula, mereka pun
maklum bahwa selama 150 tahun terakhir banyak orang yang merumuskan geometri
bukan ala Euclid. Sebenarnya, sejak teori relativitas Einstein diterima orang,
para ilmuwan menyadari bahwa geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam
penerapan masalah cakrawala yang sesungguhnya. Pada kedekatan sekitar
"Lubang hitam" dan bintang neutron --misalnya-- dimana gaya berat
berada dalam derajat tinggi, geometri Euclid tidak memberi gambaran yang teliti
tentang dunia, ataupun tidak menunjukkan penjabaran yang tepat mengenai ruang
angkasa secara keseluruhan. Tetapi, contoh-contoh ini langka, karena dalam
banyak hal pekerjaan Euclid menyediakan kemungkinan perkiraan yang mendekati
kenyataan. Kemajuan ilmu pengetahuan manusia belakangan ini tidak mengurangi
baik hasil upaya intelektual Euclid maupun dari arti penting kedudukannya dalam
sejarah.
The
Elements dapat dikatakan karya fenomenal pada jaman itu. Terdiri dari 13 buku
yang tersusun berdasarkan tema dan topik. Setiap buku diawali dengan difinisi,
aksioma (hanya untuk buku I), preposisi, theorema sebelum ditutup dengan
pembuktian dengan menggunakan definisi dan aksioma yang sudah disebutkan. Buku
ini ke luar Yunani tahun 1482, diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dan Arab,
serta menjadi buku teks geometri dan logika pada awal tahun 1700-an. Garis
besar isi masing-masing buku. Sebuah pendekatan sistematik dan aksiomatik dalam
membahas persoalan geometri.
The
Elements ini terdiri dari 13 buku yaitu:
1. Buku I : Fundamentals of Plane
Geometry Involving Straight-Lines
2. Menguraikan proposisi dasar geometri bidang. Termasuk tiga kasus tentang kekongruenan
segitiga, berbagai teorema yang melibatkan garis paralel, teorema mengenai
jumlah sudut dalam segitiga, dan teorema Pythagoras.
3. Buku II : Fundamentals of Geometric Algebra
4. Menguraikan tentang geometri aljabar.
5. Buku III : Fundamentals of Plane Geometry
Involving Circles
6. Menyelidiki lingkaran dan sifat-sifatnya, termasuk
teorema garis singgung dan sudut tertulis.
7. Buku IV : Construction of Rectilinear Figures In
and Around Circles
8. Berkaitan dengan poligon teratur dan dibatasi, juga
lingkaran.
9. Buku V : Proportion
10. Mengembangkan teori aritmetika proposisi.
11. Buku VI : Similar Figures
12. Menerapkan teori proposisi geometri bidang dan berisi
teorema pada angka yang sama.
13. Buku VII : Elementary Number Theory
14. Berisi tentang penawaran dengan teori bilangan dasar.
15. Buku VIII : Continued Proportion
16. Berkaitan dengan geometri seri.
17. Buku IX : Aplications of Number Theory
18. Mengandung berbagai aplikasi hasil dalam dua buku
sebelumnya dan ada juga tentang keterbatasan bilangan prima, serta jumlah dari
seri geometri.
19. Buku X : Incommensurable Magnitudes
20. Berisi upaya pengklasifikasian angka yang tak dapat
dibandingkan (irrasional).
21. Buku XI : Elementary Stereometry
22. Mengenai penawaran dengan proposisi dasar geometri
tiga-dimensi.
23. Buku XII : Proportional Stereometry
24. Mengenai perhitungan relatif volume kerucut, piramida,
silinder, dan bola.
25. Buku XIII : The Platonic Solids
26. Menginvestigasi padatan Platonis.
Definisi-definisi
yang dikemukakan Euclid dalam The Elements :
a. Sebuah
titik adalah sesuatu yang tidak punya bagian
b. Suatu
garis sesuatu yg punya panjang
dan tidak punya lebar
c. Ujung-ujung
suatu garis adalah titik-titik
d. Suatu
garis lurus adalah garis-garis yang terletak merata dengan titik-titik terletak
padanya.
e. Suatu
sudut tumpul adalah suatu sudut yang lebih besar dari sudut siku-siku.
f. Selanjutnya
bangun-bangun bersisi tiga, suatu segitiga siku-sik adalah suatu segitiga yang
mempunyai suatu sudut siku-siku; suatu segitiga yang mempunyai suatu sudut
tumpul, dan suatu segitiga yang mempunyai suatu sudut tumpul, dan suatu
segitiiga lancip adalah segitiga ang ketiga sudutnya lancip.
g. Dari
bangun-bangun bersisi empat, suatu persegi adalahsesuatu bangun yang
sisi-sisinya sama panjang dan sudut-sudutnya siku-siku. Suatu persegi panjang
adalah sudut siku-siku yang tidak mempunyai semua sisi yang sama panjang. Suatu
belah ketupat adalah bangun bersisi empat yang keempat sisinya sama panjang
tetapi sudut-sudutnya tidak siku-siku. Sebua laying-layang adalah bangun berisi
empat dengan sudut dan sisi yang saling berhadapan adalah sama., tetapi panjang
sisinya tidak sama dan sudutnya juga tidak siku-siku. Bangun bersisi empat yang
lain dari yang disebutkan ini disebut trapezium.
h. Garis
lurus – garis lurus yang sejajar adalah garis lurus yang terletak pada bidang
yang sama dan diperpanjang sampai tak hingga pada kedua arah, tidak berpotongan
pada arah yang manapun.
Beberapa aksioma-aksioma
yang terdapat pada buku The Elements
:
1. Benda-benda
yang masing-masingnya sama dengan suatu benda lain adalah sama satu dengan
lainnya.
2. Jika
hal-hal yang sama ditambahkan dengan hal-hal yang sama, maka keseluruhannya
juga sama.
3. Jika
sejumlah yang sama dikurangi dari hal-hal yang sama, maka sisanya juga akan
sama.
4. Hal-hal
yang saling menutupi satu dengan lainnya adalah sama satu dengan lainnya.
5. Keseluruhan
adalah lebih besar dari sebagiannya.
Beberapa postulat-postular
yang terdapat pada buku The Elements
:
1. Membuat
suatu garis lurus dari satu titik ke titik lainnya.
2. Membuat
suatu garis (ruas garis) secara kontinu pada suatu garis lurus.
3. Menggambarkan
sembarang lingkaran dengan sembarang titik pusat dan jari-jari.
4. Semua
sudut sku-siku sama satu dengan lainnya.
5. Jika
suatu garis lurus memotong dua garislurus lainnya dan membuat sudut-sudut dalam
sepihak terhadap garis itu kutang dari dua sudut siku-siku, jika diperpanjang
tak hingga, akan berpotongan di sisi garis dimana kedua sudut yang jumlahnya
kurang dari dua sudut siku-siku itu terletak.
Teorema-teorema pada The Elements adalah kompilasi
karya para matematikawan sebelumnya, menampilkan pembuktian-pembuktian kuno mengganti
dengan yang baru dan disederhanakan. Element menjadi buku teks baku abadi dalam
geometri. Saat mesin cetak ditemukan, buku ini termasuk buku pertama yang
dicetak.
Beberapa proposisi diantara lainnya
adalah :
1.
Jika ada suatu
segitiga sudut sama, maka sisi di hadapan sudut-sudut itu juga sama.
2.
Dalam setiap
segitiga jika salah satu sisi diperpanjang, maka sudut luarnya lebih besar dari
setiap sudut dalam yang dihadapannya.
3.
Dalam setiap
segitiga, jumlah dari sembarang dua sudut adalah kurang dari dua sudut
siku-siku.
4.
Dalam setiap
segitiga, sisi dihadapan sudut terbesar adalah sisi terpanjang.
5.
Dalam setiap
segitiga jumlah dari setiap dua sisi adalah lebih besar dari sisi ketiga.
Selain axioma, ditemukan juga proposisi-proposisi
yaitu pernyataan-pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya dengan
menggunakan aturan-aturan inferensi yang diterima.
Mengenai aksioma, serta argumentasi ilmiah, muncul
pertanyaan, “persyaratan apa yang harus dimiliki agar suatu pernyataan disebut
sebagai suatu axioma, dan berdasarkan aturan apakah proposisi-proposisi
disimpulkan dari aksioma-aksioma?”
Hal ini memunculkan konsep sistem aksioma, yang
memuat tiga konsep utama yaitu :
“Consistency: jika tidak ada axioma ataupun
proposisi dari system itu yang bertentangan satu dengan yang lain”
“Independency: Suatu axioma dikatakan
independent terhadap axioma-axioma lainnya, jika axioma itu tidak dapat diturunkan
dari axioma-axioma lainnya”
“Completeness: Suatu system axioma dikatakan
lengkap jika dari setiap pernyataan yang disajikan secara tepat dapat
dibuktikan atau tidak dapat dibuktikan berdasarkan axioma-axioma dalam system
itu. Dengan kata lain, tidak mungkin lagi ditambahkan axioma lain yang
independent ke dalam system axioma itu”
C.
Kecacatan pada Postulat Euclid
Semua postulat membawa apa yang
disebut dengan pembuktian diri (self-evidence). Postulat kelima dibuktikan oleh
Euclid tanpa memberikan cara pembuktian. Upaya pertama untuk membuktikan
postulat kesejajaran ini dilakukan oleh Girolamo Saccheri, pendeta Jesuit
berkebangsaan Italia, yang mendukung Euclid dengan menerbitkan buku berjudul
Euclides ab omni naevo vindicatus (“Euclid bebas dari semua kesalahan”) pada
tahun 1733. Buku tersebut tidak dapat menuntaskan kesalahan Euclid.
Matematikawan terkemuka Jerman, Gauss, pertama kali menemukan kesalahan
postulat kelima tapi malu untuk mempublikasikannya sehingga kehormatan
diberikan kepada dua matematikawan lain yang mengungkapkannya dengan cara
penemuan Gauss. Janos Bolyai dari Hongaria dan Nicolai Lobachevsky secara
terpisah mampu membuktikan cacat postulat kelima Euclid dengan cara berbeda
pula.
Penemuan kesalahan ini membuat
berkembangnya geometri model baru. Dirintis oleh Beltrami dari Italia, disusul
Cayley dari Inggris, Poincare dari Perancis dan Felix Klein dari Jerman.
Terakhir, dirombak, diubah dan dilakukan penyesesuai kecil terhadap
postulat-postulat Euclid oleh [Bernhard] Riemann dari Jerman sehingga muncul
bentuk-bentuk baru: hiperbola, parabola, ellips yang merupakan jawaban bahwa
alam semesta bukanlah pengikut aliran Euclid (non-Euclidian).
a.
Tiga problema matematika klasik
Para matematikawan sejak dahulu
berkutat dengan tiga problem yang tidak dapat dipecahkan pada saat itu. Memang
ketiga problem itu menjadi mudah setelah ada “campur-tangan” pada matematikawan
modern yang terus menyempurnakan alat-alat matematika. Adapun ketiga problem
ini adalah:
1.
Persamaan pangkat 3
Cth : 4x³ - 3x - a = 0, a adalah angka tertentu. Saat itu Yunani tidak mengenal
pangkat tiga (kubik). Dengan penggaris dan kompas mereka hanya mampu
menyelesaikan persamaan linier (pangkat 1) dan persamaan kuadrat (pangkat 2).
2.
Menggandakan kuadrat
Cth : 2x³ = y³ atau x³ = 2, Problem yang tidak dapat dipecahkan terjadi karena sebuah
legenda. Bangsa Athena, menurut cerita, konsultasi dengan Orakel (tempat
dibangun kuil dan dewa bersabda) sebelum melakukan kampanye perang dan dijawab
bahwa untuk mempertahankan kejayaan mereka harus menggandakan lebar altar
pemujaan terhadap Apolo (Anak Zeus yang dipercayai oleh ayahnya untuk menyingkapkan
keputusan-keputusan ayahhandanya untuk umat manusia), yang berbentuk kubus.
Mereka segera membuat altar dengan dua kali panjang, dua kali lebar dan dua
kali tinggi dibanding altar aslinya.
Percaya bahwa mereka sudah memenuhi keinginan Oracle,
mereka dengan penuh percaya diri menuju perang – dan kalah. Ternyata, mereka
membuat altar delapan kali besarnya, bukan 2 kali.
3.
Menggambar lingkaran.
Karena tidak ada alat yang tersedia, pada saat itu,
tidaklah dimungkinkan menggambar lingkaran bahkan dinyatakan dalam bentuk
persamaan aljabar. Problem menyangkut menentukan besaran p (pi), nisbah antara
lingkaran dan diameter. Kendala datang dari p yang merupakan bilangan
irrasional sekaligus transendental (= bukan bilangan yang dapat diekspresikan
dalam aljabar. Sulit ‘memahami alam tanpa kehadiran bilangan ini. Ada 2
bilangan transendental yang terkenal: p dan e).
Ketiga problem klasik ini akan
selalu membayangi kiprah para matematikawan. Tidak terkecuali Euclid, tanpa
pernah dapat menyelesaikan. Matematikawan berikutnya akan selalu menghadapi dan
berupaya memecahkan problem tersebut. Penyelesaian suatu problem berarti nama
baik sekaligus prestasi. Tidak jarang terjadi kecurangan, saling “curi” ide,
penghianatan. Dan hal ini selalu terjadi di jaman dulu sampai jaman sekarang.
Banyak contoh dapat dibaca pada riwayat-riwayat para matematikawan selanjutnya.
b.
Euclid dan bilangan prima
Euclid, seperti matematikawan
jaman sekarang, mempelajari bilangan prima, mencari untuk menentukan bilangan
mana yang masuk kategori prima atau bukan. Euclid tidak pernah dapat menentukan
bilangan prima, tetapi dia mampu memberikan jawaban tentang bilangan prima:
bilangan prima itu tidak terhingga. Anak SD sekarang sudah terbiasa dengan
bilangan prima. Dari angka 2 sampai dengan 50 terdapat 15 bilangan prima (2, 3,
5, 7, 11, 13, `7, `9, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) ; dari 50 sampai dengan 100
hanya 10 bilangan prima.
Euclid membuat pernyataan: jika
bilangan prima terbesar adalah n, maka pasti ada bilangan > n, di mana dapat
dicari dengan menggunakan 1 x 2 x 3 dan seterusnya sampai n, kemudian ditambah
1 untuk mendapatkan hasilnya. Simbol matematika untuk mengekspresikan adalah n!
+ 1 (n faktorial ditambah 1).
D.
Karya
Lain dari Euclid
Ptolemy mendirikan universitas yang lebih
besar dari akademi Plato dan mengundang Euclid untuk mengajar di sana. Di tempat baru ini, Euclid merintis
pengajaran matematika dan tinggal di sana sampai akhir hayatnya. Sebagai seorang guru, dia barangkali salah
satu mentor Archimedes.
Ada legenda yang menceritakan bahwa anak
Ptolemy bertanya kepada Euclid apabila ada cara mudah belajar geometri dengan
mempelajari semua preposisi. “Tidak
ada cara mulus mempelajari geometri,” adalah jawaban Euclid sambil menyuruh
pangeran kembali membaca buku geometri. Jawaban
ini menjadi kutipan (quotation) terkenal dari Euclid. Selanjutnya jawaban tersebut memberi
dasar bahwa matematika adalah ilmu yang perlu pembuktian.
Selama hidupnya, Euclid telah menulis banyak buku, diantaranya yang
terkenal dan masih tersimpan adalah:
1. The Elements
The
Elements berisi pendekatan sistematik dan aksiomatik terhadap geometri. Buku
ini terdiri dari 13 buku yang tersusun berdasarkan tema dan topik. Setiap buku diawali dengan difinisi, aksioma (hanya
untuk buku I), preposisi, theorema sebelum ditutup dengan pembuktian dengan
menggunakan difinisi dan aksioma yang sudah disebutkan.
2. The
Data
The Data berisi sifat dan implikasi
dalam masalah geometris. Buku ini memuat 94 proposisi yang menyajikan cara
pandang yang radikal dalam penalaran
geometri. Dalam buku ini, Euclid menggunakan kalimat matematika yang
berfungsi sebagai acuan darimana kalimat lain secara logis berasal.
3. On
Divisions of Figures
Buku ini terdiri dari 36 proposisi yang
berisi pembagian bidang geometris menjadi dua atau lebih bagian yang sama atau
dengan rasio tertentu.
4. Phaenomena
Buku ini membahas tentang geometri bola untuk menjelaskan pergerakan planet
di alam semesta. Salah satu pengamatannya dalam buku ini adalah bahwa elips
dapat diperoleh dari pemotongan silinder.
5. Optik
Karya ini menganalisis hubungan antara apa yang
dilihat mata dari sebuah objek dan apa objek sebenarnya. Hal ini berawal ketika Euclid mengikuti tradisi Platonis dimana
pandangan tersebut disebabkan oleh sinar diskrit yang berasal dari mata. Satu
hal yang penting dari karya ini adalah “Things
seen under a greater angle appear greater, and those under a lesser angle less,
while those under equal angles appear equal.”
Sementara karya-karya dari Euclid yang
hilang diantaranya:
1. Conics
Conics
karya Euclid sudah ada lebih dahulu berabad-abad dibandingkan karya Conics yang
terkenal dari Apollonius. Menurut Pappus, Euclid pernah memberikan penghargaan
kepada Aristeus atas karyanya pada Conics yang lebih lengkap, original, dan
spesifik.
2. Porisms
Buku
ini berisi 171 teorema dan 38 lemma. Menurut Pappus, buku ini menitikberatkan
kepada proposisi yang merupakan penengah antara teorema dan masalah.
3. Pseudaria
Pseudaria
atau yang dikanal dengan Kitab Fallacies adalah teks dasar tentang kesalahan dalam penalaran.
Dalam buku ini Euclid menunjukkan bagaimana menghindari kesalahan dalam penalaran dengan cara “setting the true beside the false and
adapting his refutations of error to the seductions we may encounter.”
4. Surface
Loci
Tidak
diketahui maksud dari judul buku ini apakah “Lokus pada permukaan” , atau
“Lokus yang merupakan permukaan”.
